二阶微分计算 什么是微分算子

什么是微分算子

在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式，微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，基于算子多项式的理论，针对二阶常系数线性微分方程，论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的撤分算子特解公式，实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。

在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）

二阶微分方程的3种特解公式

第一种：两个不相等的实根：y=C1e^（r1x）+C2e^（r2x）。第二种：两根相等的实根：y=（C1+C2x）e^（r1x）。第三种：一对共轭复根：r1=α+iβ，r2=α-iβ：y=e^（αx）*（C1cosβx+C2sinβx）。

拓展：二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f（x）的微分方程，其中p，q是实常数。 自由项f（x）为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

二阶微分公式

01

1.二阶常系数齐次线性微分方程解法

一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0

特征方程r2+pr+q=0的两根为r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

两个不相等的实根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

两个相等的实根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

02

2.1.二阶常系数非齐次线性微分方程解法

一般形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:

① f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数

03

2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数

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有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以掌握方法，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。

一阶二阶算子特点

一阶微分算子，就是求图像灰度变化曲线的导数，能够突出图像中的对象边缘；

二阶微分算子，求图像灰度变化导数的导数，对图像中灰度变化强烈的地方很敏感，从而可以突出图像的纹理结构

二阶常微分方程公式

y''+a1y'+a2y=0，其中a1、a2为实常数。对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

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