海 南 师 范 大 学目 录范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南 指导教师：黄晓芬 博士 摘 要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。范德蒙行列式的应用十分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang XiaofenAbstract: The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces and linear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed a unique and beautiful appearance, but also because it has a broad application prospect, thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. Vandermonde determinant application is more extensive, not only applied to some determinant calculation, and it can also prove that the determinant of some problem and some certificates and some of the characteristics about the polynomial vector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theory of polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, vandermonde determinant, infinitesimal calculus,theory of polynomial第一章.绪论1.1引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。

行列式最早出现在16世纪线性方程组的求解过程中，到今天，行列式已经被广泛的应用，正确快速的解决行列式的问题是其他一切工作的基础。行列式是线性代数的主要内容之一，它是主要决定线性代数的因素，这是在线性方程，矩阵，向量空间和线性变换的后续过程的基础上，具有一个非常重要的作用。该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。典型的行列式定理及数学归纳法的综合应用将在它的证明中充分体现。1.2范德蒙行列式的证明定义：行列式称为n级范德蒙行列式。1.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式文献： 王萼芳,石生明.《高等代数》【M】.北京：高等教育出版社,2013:80-82.1.3 范德蒙行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1.若将范德蒙行列式逆时针旋转可得:2.若将范德蒙行列3.若将范德蒙行列式.范德蒙行列式的应用2.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用我们可以根据行列式的性质，从而简化行列式的计算。但对于一些特殊结构，可以考虑使用一些特殊的方法。下面以 n阶Vandermonde行列式为例，我们将解释如何使用n阶Vandermonde简化行列式的计算。

通过（1）式我们可以得知，n阶行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且方幂的次数从上而下由0递增至n-1。利用范德蒙行列式的这种结构特点，我们可以将所给行列式化为范德蒙行列式，然后把结果计算出来。根据给定的决定性成Vandermonde行列式的这种结构特征Vandermonde行列式，然后使用这个结果来计算。利用范德蒙行列式的性质，我们可以将其简化行列式的计算。常见的化法有以下几种：根据所给的幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，而且所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，这样的行列式需利用行列式的性质方能（如提取公因式，拆行（列），调换各行（或各列）的次序,等）将行列式化为范德蒙行列式的形式。例1 计算解：由范德蒙行列式的性质3得2.1.1用提取公因式计算行列式例2 计算解：中每一行的元素都分别是一个数的不同方幂，而且从左到右方幂的次数按递增的顺序排列，然而值得注意的是方幂却不是从0变到n-1，而是从1递升至n，如果提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故.2.1.2 调换各行（或各列）的次序计算行列式例3 计算解：本题中行列式与范德蒙行列式的排列规律恰恰相反，所以通过将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与上行交换直至第2行……第2行依次与上行交换直至第n行，使得中各列元素的方幂次数自上而下的呈递升排列，总共经过n+(n-1)+(n-2)+次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式：2.1.3 用拆行（列）计算行列式若中由两个分行（列）所组成的第i行（列），并且有相同分行（列）被任意相邻两行（列）所包含；且中的范德蒙行列式是由n个分行（列）组成的，那么将的第i行（列）乘以-1加到第（i+1）行（列），消除一些分行（列），即可将此化成范德蒙行列式。

例4 计算D.解：使得D的第1行乘以-1加到第2行得：再将上述行列式的第2行乘以-1与第3行相加可得：再在新行列式中的第3行乘以-1与第4行相加得：该行列式即为4阶的范德蒙行列式，故D例5. 解：( 先从第一行中把公因子提出来，然后把所得的行列式中的第一行乘以加到第行，从而达到可以把第三行所有的常数项消去的效果；( 将行列式的第二行中公因子提出来，然后把所得行列式中第二行乘以，加到第k行，这样就把第三行以后的所有一次项消去，这样继续下去，最后就可以得到2.1.4 用加边法计算行列式 如果每一行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂的行列式，就可用此方法：例6.计算解：作阶行列式：=由所作行列式可知的系数为，而由上式可知的系数为：通过比较系数得：2.1.5 拉普拉斯展开法计算行列式运用公式=来计算行列式的值：例7. 计算 解： 取第1，3，2行，第1，3，列展开得：=2.2范德蒙行列式在求解n阶k循环行列式中的应用证明：循环行列式的值可由下列式子计算：，而所有的次单位根.证明：因为为n个不同的n次单位根，所以被它们构成的n阶范德蒙行列式不等于零，为此作 由行列式的乘法规则可知，D的第i行第j列元素其中规定,故，于是因为的第行第列的元素，即上面的行列式也与相等，且原循环列的值等于，由行列式D的形状可知利用本题可得下列两式.2.3范德蒙行列式在解决多项式的求根问题的应用例1. 设若至少有个不同的根，则。

证明 ：取为的个不同的根，则有齐次线形方程组(1)其中看作未知量因为方程组（1）的系数行列式为范德蒙行列式，并且所以方程组（1）的解都为0，从而有即是零多项式。 例2. 设是数域F中互不相同的数，是数域F中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于n的多项式，使=，证明： 设由条件，知（2）因为互不相同，所以方程组（2）的系数行列式则方程组（2）有唯一解，即唯一的次数小于的多项式使得， 例3.设多项式， ，则不可能有非零且重数大于的根。证明 ：反设是的重数大于的根，则=0， 进而即（3）把（3）看成关于为未知量的齐次线形方程组则（3）的系数行列式2.4范德蒙行列式在解答整除问题中的应用多项式的根与整除性是密切相关的，所以有时候可以利用范德蒙行列式的性质来讨论整除问题。例1. 设是正整数，证明n阶行列式能被整除．证明：能被整除．.例2. 试证若是不同的整数，而是非负整数，则是整数 上述问题是关于复数域内三元幂和式的问题,对于,且互不相等,复数域内元幂和式满足递推关系式（1）其中为的个初等对称多项式，例题中德满足递推关系由于是不同的整数，且,所以例题中的恒为整数。2.5范德蒙行列式在数列拆项中的应用 设等差数列，公差行列式的应用，则当时，有将此拆项公式推广之后，我们会发现拆项公式与范德蒙行列式有着密切的关系。

设是等差数列中任意,公差，因为则其中是关于的阶范德蒙行列式，分别是关于的2阶范德蒙行列式，一般的，因为所以故我们猜想上式拆成项和时，也与阶范德蒙行列式和阶范德蒙行列式产生关联。定理5：设是等差数列中任意,公差即时结论也成立；所以由归纳原理可得，本结论对任意的正整数都成立。2.6 范德蒙行列式在微积分中的应用例1.确定常数使得当x0时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.解：对的各项利用泰勒展开公式，有当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组其系数行列式为范德蒙行列式行列式的应用，由于，故以为未知数的方程组只有零解：从而，这显然不合题意，故再考虑时最高阶无穷小为6阶的情形.令等价于此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式方程组有唯一一组与有关的解：从而在的领域内的最高阶无穷小有如下形式：.例2. 设至少有阶导数，且对某个实数有试证：证明：由已知条件，要证明只要将写成与的线性组合即可.利用泰勒公式，（1）其中这是关于的线性方程组，其系数行列式为D后一行列式为范德蒙行列式，其值为1，故D=1，于是可从方程组（1）把写成的线性组合，我们只要证明即可.事实上，设x，于是.在此式中分别令.主要参考文献[1] 翟颖,夏亚勤.范德蒙行列式的推广【J】.北京教育学院学报（自然科学报）,2012(04）[2] 王萼芳,石生明.《高等代数》【M】.北京：高等教育出版社,2013:80-82.[3] 杨儒生,朱平天.线性代数习题集【M】.南京：江苏教育出版社,1996[4] 黄朝霞,范德蒙行列式的推广【J】.集美大学学报（自然科学版）,2008(01）[5] 张文丽.利用范德蒙行列式的结论计算行列式【J】.晋东南师范专科学报,2003(02）[6] 牛海军.范德蒙行列式在行列式计算中的应用【J】.中国科教创新导刊,2008(17)[7] 庞金彪,鹿琳.范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用【J】.数学通报,1992(11)[8] 裴礼文.数学分析中的经典问题与方法【M】.北京高等教育出版社,1998:17-18[9] 徐振昌.范德蒙行列式推广形式的另一种证明发【J】.广东技术师范学院学院,2004[10] 钱福林.广义范德蒙行列式【J】.四川大学学报,1991(01)[11] 邱建霞,吴康.广义范德蒙行列式的推广【J】.西华师范大学学报[12] 范臣君.范德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用【J】.吉林师范大学学报（自然科学版）,2015(01)[13] 高建兴,张在明.涉及范德蒙行列式的两个数学问题【J】. 玉溪师范学院学报,2003( 06）[14] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）【M】,北京：高等教育出版社，2003[15] 周士藩.高等代数解题分析【M】.江苏：江苏科技大学出版社，1985[16] 屠伯埙.线性代数方法导引【M】.上海：复旦大学出版社.1986[17] 牛莉.线性代数【M】.北京：中国水利水电出版社.2005[18] 邹应.数学分析习题及其解答【M】.武汉：武汉大学出版社.2001[19] 吴良森，毛羽辉，宋国栋，魏木生.数学分析习题精解【M】.北京：科学出版社.2002[20] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧【M】.长沙：湖南大学出版社.1987致 谢首先我要衷心的感谢我的指导老师黄晓芬教授，她渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我终身受益. 感谢她指引我进入一个崭新的研究方向，感谢她时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导我的毕业论文，使得本文能够顺利完成. 在黄晓芬老师的指引下，我对范德蒙行列式有了初步的了解，并且具有了一定的独立科研能力. 能够成为黄晓芬老师的学生是我的荣幸. 在此成文之际，谨向导师黄晓芬教授致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝福黄晓芬教授身体健康，生活幸福.感谢数学与统计学院的老师和领导，特别是黄晓芬教授，感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助。最后，感谢我的家人，感谢他们对我永远的支持与鼓励！1