行列式Dn=5 3 0 … 0 0 2 5 3 … 0 0 0 2 5 … 0 0 … … …
解:设所求n阶行列式为D(n),设
A(n+1)=
2 3 0 0 。。。。。。 0 0
0 5 3 0 。。。。。。 0 0
0 2 5 3 。。。。。。 0 0
0 0 2 5 。。。。。。 0 0
0 0 0 0 。
。。。。。 5 3
0 0 0 0 。。。。。。 2 5
当n1时,原式按第一行展开得
D(n+2)=5D(n+1)-3A(n)=5D(n+1)-6D(n)。
这是二阶常系数线性差分方程,解特征方程t^2-5t+6=0得
(t-2)(t-3)=0
t=2或t=3
因此
D(n)=C1·2^n+C2·3^n (2^n表示2的n次方)
这里C1、C2为常数。
容易求得
D(1)=5,D(2)=5×5-2×3=19。
也就是
2C1+3C2=5
4C1+9C2=19
解得
C1=-2
C2=3
因此
D(n)=-2·2^n+3·3^n
即D(n)=3^(n+1)-2^(n+1)。
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