18.1 勾股定理 八数沪科版下册.pptx
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1、教学课件教学课件 相传相传2500年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时,年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数面积之间的数量量关系,关系,进而进而发现发现直角三角形三边的某种数量关系直角三角形三边的某种数量关系毕达哥拉斯毕达哥拉斯ABC看似平淡看似平淡无奇的现无奇的现象有时却象有时却隐藏着深隐藏着深刻的道理刻的道理情景引入情景引入ABC发现发现: : 以等腰直角三角形两直以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正的和,等于以斜边为边长的正方形的面积方
2、形的面积. .即我们惊奇地发现,即我们惊奇地发现,等腰直角三角形的三边之间有等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系:斜边的平方一种特殊的关系:斜边的平方等于两直角边的平方和等于两直角边的平方和. . 思考:思考:你能发现图中的等腰你能发现图中的等腰直角三角形有什么性质吗?直角三角形有什么性质吗?合作探究合作探究活动:探究活动:探究勾股定理与图形的面积勾股定理与图形的面积一般直角三角形也有上述性质吗?一般直角三角形也有上述性质吗?ABC图图1-1ABC图图1-2图中每个小方格的面积均图中每个小方格的面积均为为1,请分别计算出图、,请分别计算出图、中中A、B、C的面积,看的面积,看看能得出什么结
3、论看能得出什么结论.图图图图ABABCCA的的面积面积B的的面面积积C的的面面积积图图图图169254913正方形面积间的关系:正方形面积间的关系:SA+ +SB= =SC怎样得到正方形怎样得到正方形C的面的面积?与同伴交流交流积?与同伴交流交流ABC图图1-1图图ABCabc正方形面积间的关系:正方形面积间的关系:SA+ +SB= =SC猜想:直角三角形三猜想:直角三角形三边之间的关系,即:边之间的关系,即:两直角边的平方和等两直角边的平方和等于斜边的平方于斜边的平方. 设:直角三角形的设:直角三角形的三边长分别是三边长分别是a、b、cSA+ +SB= =SCa2+ +b2= =c2 命题命
4、题1 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a,b, ,斜边长为斜边长为c c, ,那么那么a2+ +b2= =c2.abc 我国汉代的数学家赵爽指出:四个全我国汉代的数学家赵爽指出:四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形方形.赵爽弦图赵爽弦图cba 黄黄 实实朱实朱实赵爽赵爽请同学们拿出已准备的四个全等的直角三角形动手拼一拼!请同学们拿出已准备的四个全等的直角三角形动手拼一拼!温馨提示:温馨提示:上述这种验证勾股定理的方法是用上述这种验证勾股定理的方法是用面积面积法法. “赵爽弦图赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明
5、表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,它是我国古代数学的才智,它是我国古代数学的骄傲骄傲.这个这个图案被选为图案被选为2002年在北年在北京召开的国际数学大会的会徽京召开的国际数学大会的会徽.abcS大正方形大正方形c2 ,S小正方形小正方形(b-a) ,S大正方形大正方形4S三角形三角形S小小正方形正方形,赵爽弦图赵爽弦图证明:证明:b-a在我国又称商高定理,在外国则叫毕达哥拉斯定理,或在我国又称商高定理,在外国则叫毕达哥拉斯定理,或百牛定理百牛定理. .(a、b、c为正数为正数)勾股定理勾股定理 如果如果直角三角形直角三角形的两直角边的两直角边长分别为长分别为a,b,斜边长为斜边长为c
6、,那么那么a2+b2=c2.公式变形:公式变形:222222-acbbcacab,勾勾股股弦弦即:勾即:勾2 2+ +股股2 2= =弦弦2 2前提前提知识要点知识要点 例例1 1 求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :8x171620 x125x温馨提示:温馨提示:已知直角三角形的两边长,求第三边长已知直角三角形的两边长,求第三边长时,应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快时,应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确!捷准确!x=15x=12x=13 例例2 2 已知在已知在RtBC中,中,AB,ACAC, ,则则BC= . . 5 或或 743ACB43CA
7、B温馨提示:温馨提示:当直角三角形中所给的两条边没有指明是当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时,其中一较长边可能是直角边,也可斜边或直角边时,其中一较长边可能是直角边,也可能是斜边,这种情况下,一定要进行分类讨论,否则能是斜边,这种情况下,一定要进行分类讨论,否则容易丢解容易丢解.是不是所有的三角形的三边关系都满足勾股定理?是不是所有的三角形的三边关系都满足勾股定理?在发现勾股定理的过程中,我们用了什么方法?在发现勾股定理的过程中,我们用了什么方法?据不完全统计,勾股定理的证明方法已经多达据不完全统计,勾股定理的证明方法已经多达400400多种,今多种,今天我们用了什么方法?天我
8、们用了什么方法?4.4.运用勾股定理应注意哪些事项?运用勾股定理应注意哪些事项?不是不是由特殊到一般由特殊到一般面积法面积法(1)前提是前提是在直角三角形中;在直角三角形中;(2)弄清哪个角是直角;)弄清哪个角是直角;(3)已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类)已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论讨论.课堂小结课堂小结1.叙述勾股定理的内容叙述勾股定理的内容2. 矩形的一边长是矩形的一边长是5,对角线是,对角线是13,则它的,则它的面积面积是是 .3. .在在ABC中,中,AB=15,AC=13,高,高AD=12,则,则ABC的周长为(的周长为( )(A)42 (B)32(
9、C)42或或32 (D)30或或35如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为斜边长为c,那么那么a2+b2=c2.60C复习引入复习引入 问题问题1 有一个水池有一个水池,水面是一个边长为水面是一个边长为l0尺的正方形尺的正方形.在水在水池正中央有一根芦苇池正中央有一根芦苇.它高出水面它高出水面l尺尺.如果把这根芦苇拉向水如果把这根芦苇拉向水池池一边一边,它的顶端恰好到达池边的水面它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的水的深度与这根芦苇的长度分别是多少长度分别是多少? X+1X5CBDA实际问题实际问题数学问题数学问题实物图形实物图形几何图形几
10、何图形合作探究合作探究活动活动1 1:探究探究勾股定理勾股定理的应用的应用X+1X5CBDA 解:设水深为解:设水深为x尺,则芦苇长为(尺,则芦苇长为(x+1)尺,)尺,由勾股定理,得由勾股定理,得x2+52=(x+1)2x=12答:水深答:水深12尺,芦苇长尺,芦苇长13尺尺.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:(1)读懂题意,分析已知、未知间的关系;)读懂题意,分析已知、未知间的关系;(2)构造直角三角形;)构造直角三角形;(3)利用勾股定理等列方程或方程组;)利用勾股定理等列方程或方程组;(4)解决实际问题)解决实际问题.知识要点知识要点 例例1 在一
11、次台风的袭击中,小明家房前的一棵大在一次台风的袭击中等腰三角形边长公式,小明家房前的一棵大树在离地面树在离地面6米处断裂,树的顶部落在离树根底部米处断裂,树的顶部落在离树根底部8米处米处. .你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗?你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗? 8 米米6米米 8 米米6米米ACB6米米 8 米米解:在解:在RtABC中等腰三角形边长公式,中,AC=6,BC=8,由勾股定理得由勾股定理得22226810.ABACBC这棵树在折断之前的高这棵树在折断之前的高度是度是10+6=16(米)米).问题问题1在八年级上册中,我们曾经通过画图得到在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边分别相等的两个直角
12、三角形结论:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等全等. .学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?证明证明“HL” 22BCABAC ,=-=-22- -= =B CA BA C 证明:在证明:在RtABC 和和RtA B C 中,中,C= =C= =90,根据勾股定理,得,根据勾股定理,得 已知:如图,在已知:如图,在RtABC 和和RtA B C 中,中,C=C = =90,AB= =A B ,AC= =A C 求证:求证:ABCA B C A B C ABC ABCA B C (SSS) AB=A B , AC=A C , BC=B C A B
13、 C ABC 问题问题2我们知道数轴上的点有的表示有理数,有我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的表示无理数,你能在数轴上画出表示 的点吗?的点吗?13探究思路:把握题探究思路:把握题意意找关键字找关键字词词联系联系相关知相关知识识建立数学模建立数学模型(建模)型(建模)提示提示直角边长为整数直角边长为整数2,3的直角的直角三角形的斜边为三角形的斜边为 .13活动活动2 2:探究:探究用勾股定理在数轴上表示无理数用勾股定理在数轴上表示无理数13“数学海螺数学海螺” 类比迁移类比迁移2345用同样的方法,你能用同样的方法,你能否在数轴上画否在数轴上画出表出表示示
14、 , , 的线段的线段1,23452, 3, 5,L235利用勾股定理表示无理数的方法利用勾股定理表示无理数的方法(1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边整数的直角三角形的斜边.如本题中的如本题中的 看成看成直角边分直角边分别为别为2和和3的直角三角形的斜边;的直角三角形的斜边; 看成是直角边分别为看成是直角边分别为1和和2的直角三角形的斜边等的直角三角形的斜边等.135(2)以原点)以原点O为圆心,以无理数的长为半径画弧与数轴为圆心,以无理数的长为半径画弧与数轴存在交点,在原点左边的点存在交点,在原点左边的点表示负
15、表示负无理数,在原点右边无理数,在原点右边的点的点表示正表示正无理数无理数.知识要点知识要点1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么?运用勾股定理解决实际问题的方法是什么?(2)注意:运用勾股定理解决实际问题)注意:运用勾股定理解决实际问题, ,关键在于关键在于“找找”到到合适的直角三角形合适的直角三角形. . 数学问题数学问题直角三角形直角三角形勾股定理勾股定理实际问题实际问题转化转化构建构建利用利用解决解决(1)2.用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么?用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么?构造直角三角形,即把长为无理数的线段看成是两直角边构造直角三角形,即把长为无理数的线段看成是两直角边长都为整数的直角三角形的斜边长都为整数的直角三角形的斜边. .课堂小结课堂小结