梅森素数
由于2^P-1型的素数具有独特数学性质，千百年来，许多著名数学家以及无数数学爱好者对它情有独钟。其中，17世纪的法国数学家马林·梅森在这方面有过重要贡献。为了纪念梅森，数学界就将2^P-1 型的素数称为“梅森素数”（the Mersenne prime）。这种素数珍奇而迷人，因而被称为“数海明珠”。梅森素数历来是数学领域的重要分支——数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大；此外，它的探究需要高深的理论和纯熟的技巧，以及艰巨的计算。例如：1772年，享有“数学英雄”美誉的瑞士数学家及物理学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2的31次方减1)是个素数；该数有10位（2147483647），堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的毅力与技巧都令人赞叹不已；难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。”在“手算笔录年代”，人们历尽艰辛，共计才找到12个梅森素数。
电子计算机的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。1996年初，美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供人们免费使用。这一计算程序就是举世闻名的GIMPS项目，也是全球首个基于互联网的网格计算项目。至今人们通过该项目已经找到17个梅森素数。例如：2018年，美国数学爱好者帕特里克·拉罗什通过GIMPS项目，成功发现第51个梅森素数——2^82589933-1(即2的82589933次方减1)；该素数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。目前，全球有近75万人参与GIMPS项目，动用了超过195万核中央处理器（CPU）联网来寻找梅森素数——这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。
值得一提的是，人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也持续进行着。从已发现的梅森素数来看，它们在正整数中的分布极不规则。因此，研究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。1992年，中国数学家及语言学家周海中运用联系观察法和不完全归纳法，率先给出了梅森素数分布的精确表达式，这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格指出：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法，其创新性还表现在揭示新的规律上。”
探究梅森素数具有重大意义，是发现已知最大素数的最有效途径，有力地推动了素数论的研究。另外，梅森素数在计算机科学领域具有重要应用价值——它可以用来检测计算机系统或程序中存在的问题。许多专家认为，梅森素数的研究成果一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学协会主席、《素数的音乐》一书作者马科斯·索托伊甚至认为，梅森素数的探究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志，也是整个科技发展的里程碑之一。
（作者单位：澳大利亚国立大学物理与数学学院）