行列式的本质是解决什么问题？现实本质是什么？
行列式是线性代数的重要概念之一。不幸的事，对于相当多的国内教材和初学者而言，除了一串看似复杂的公式和一串相关定理之外，似乎一切都不知所云。
Wong！行列式有着极其清晰和简明的数学含义，特别是，具有明确的几何含义。
首先，我们必须认识到线性代数和（高维）几何的极大相关性，甚至可以说，线性代数就是线性几何。nothing more，nothing less。
行列式，矩阵的逆，矩阵的秩（rank），这三个重要的概念极其相关，几乎是一回事。
一个n阶矩阵，代表的就是一个n维欧几里得空间里的n个点或向量，它们在n维空间里“张开”形成一个子空间，行列式就是这个“子空间”（平行2n面体）的有向“超体积”。
这本身可以作为一个习题，不算太难，用数学归纳法很好证明。
显然，假如这个矩阵的n个向量不是完全线性独立的，就是说某个向量可以用其他向量线性组合出来，那从几何上看，那个张开的子空间就是一个“扁平”的，其超体积必然为0。
所以，一个方阵是否线性相关，完全等价于其行列式是否=0。从此可以引申，一个存在线性相关性的矩阵必然没有“逆”，矩阵本身就显然代表了线性组合或线性变换，逆就是反变换。用一个行列式=0的线性相关矩阵去变化，必然把输入也扁平化，就像*0，0没有倒数，所以行列式=0的矩阵没有逆。
同样，秩（rank）就是指矩阵中存在的线性无关的向量的最大数，当秩=n是就是“满秩”，此时行列式≠0，矩阵有逆。秩的几何意义就是这n个向量张开的最大的体积非零的子空间维度。
线性代数里计算行列式，计算逆，计算秩，都有很多方法，但我推荐一种，统一的方法，从中可以看出三者是几乎完全一致的数学概念。
方法就是“对角化”，通过行变换和列变换（本身代表线性组合），逐步把矩阵变成只有对角线≠0，其它位置全=0的阵。什么时候进行不下去了（此时右下余阵全0），就得到了秩。如果进行完全，就是满秩。
过程中如果对角线没有归一化，对角线乘积就是行列式的值。（求秩和行列式其实不必完全对角化，三角化就可以）。
如果过程中对角线做了归一化（全=1），那你的整个过程就相当于求逆，同一过程应用在一个单位I阵上，就是原矩阵的逆。
请牢记，线性代数就是几何，线性几何就是矩阵，你既可以用几何来辅助理解线性代数，更可以利用矩阵的强大功能来秒杀各种几何问题。